[Lab ACSD] 7. Criterio de Routh

"P6.1. Utilizando el criterio de Routh-Hurwitz, determine la estabilidad de los siguientes polinomios.

a) s² + 5s + 2
b) s³ + 4s² + 6s + 6
c) s³ + 2s² - 4s + 20
d) s⁴ + s³ + 2s² + 10s + 8
e) s⁴ + s³ + 3s² + 2s + K
f) s⁵ + s⁴ + 2s³ + s + 5
g) s⁵ + s⁴ + 2s³ + s² + s + K

Para todos los casos determine el número de raíces, si las hay. Indique si alguna cae en la parte derecha del plano.
Determine el intervalo de K que dé como resultado un sistema estable."

Del libro "Sistemas de Contro Moderno" , 10ma edición, Richard Dorf

Introducción

Un problema importante en los sistemas de control es la estabilidad, una forma sencilla de determinar la estabilidad de un sistema es utilizar el criterio de Routh-Hurwitz.
El criterio de Routh-Hurwitz es un método numérico que nos permite determinar el número de polos inestables en un sistema. Dicho método hace uso del polinomio que se encuentra en el denominador de la función de transferencia con la forma, el denominador recibe el nombre de ecuación caracteristica:
$$
\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{b_{0}s^{m} + b_{1}s^{m-1} + b_{2}s^{m-2} + ... + b_{m}s^{0}}{a_{0}s^{n} + a_{1}s^{n-1} + a_{2}s^{n-2} + ... + a_{n}s^{0}}
$$
Como mencione en el párrafo anterior, tomando la ecuación caracteristica
$$ F(s) = a_{0}s^{n} + a_{1}s^{n-1} + a_{2}s^{n-2} + ... + a_{n}s^{0} $$
... se debe crear una tabla acomodando los elementos de la siguiente forma.
 $$ \left.\begin{matrix} s^{n}\\ s^{n-1}\\ s^{n-2}\\ ...\\ ...\\ ...\\ s^{0} \end{matrix}\right| \left.\begin{matrix} a_{0} & a_{2} & a_{4} & a_{6} & ... & ...\\ a_{1} & a_{3} & a_{5} & a_{7} & ... & ...\\ b_{1} & b_{2} & b_{4} & ... & ... & ...\\ c_{1} & c_{2} & ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ g_{1} & g_{2} & g_{3} & ... & ... & ... \\ \end{matrix}\right| $$
Las primeras 2 filas contienen los coeficientes de las variables la ecuación caracteristica, de la tercera fila en adelante los valores se encuentran según las siguientes formulas:

$$ b_{1} = \frac{a_{1}a_{2} - a_{0}a_{3}}{a_{1}} $$ $$ b_{2} = \frac{a_{1}a_{4} - a_{0}a_{5}}{a_{1}} $$ $$ b_{3} = \frac{a_{1}a_{6} - a_{0}a_{7}}{a_{1}} $$

$$ c_{1} = \frac{b_{1}a_{3} - a_{1}b_{2}}{b_{1}} $$ $$ c_{2} = \frac{b_{1}a_{5} - a_{1}b_{3}}{b_{1}} $$

Como podemos ver, el método es bastante parecido a los métodos de solución de matrices, tomando un pivote y multiplicando los valores en cruz para posteriormente restarlos y dividirlos entre el pivote.

Una vez que se da solución a la tabla, el número de raíces en la ecuación característica con parte real positiva es igual al número de cambios de signo en los coeficientes de la primera columna. Éste número también indica el número de polos que se encuentran en el semiplano derecho del plano s; cabe mencionar que un sistema de control es estable si y solo si todos los polos en lazo cerrado se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s.

Soluciones

a) s² + 5s + 2

La solución a éste sistema es bastante sencilla, la tabla nos queda resuelta asi:

$$ \left.\begin{matrix} s^{2}\\ s^{1}\\ s^{0}\\ \end{matrix}\right| \left.\begin{matrix} 1 & 2 \\ 5 & ... &\\ 2 & ... &\\ \end{matrix}\right| $$

La solución podemos comprobarla de 2 formas con octave, utilizando el comando roots y gráficando los polos con el comando rlocus, éste es el resultado:

Las raíces se encuentan en los puntos (-4.56155, 0) y (-0.43845, 0), como las raíces son negativas, el sistema es estable.


b) s³ + 4s² + 6s + 6

Para éste sistema la tabla queda resuelta de la siguiente forma:

$$\left.\begin{matrix} s^{3}\\ s^{2}\\ s^{1}\\ s^{0}\\ \end{matrix}\right| \left.\begin{matrix} 1 & 6 \\ 4 & 6 \\ 4.5 & ... &\\ 6 & ... &\\ \end{matrix}\right| $$

Ahora comprobamos con octave, utilizando roots y rlocus

Las raíces se encuentan en los puntos (-2.57474, 0i), (-0.71263, 1.35i) y (-0.71263, -1.35i) como las raíces son negativas, el sistema es estable.



c) s³ + 2s² - 4s + 20

Para éste sistema la tabla queda resuelta de la siguiente forma:

$$\left.\begin{matrix} s^{3}\\ s^{2}\\ s^{1}\\ s^{0}\\ \end{matrix}\right| \left.\begin{matrix} 1 & -4 \\ 2 & 20 \\ -14 & ... &\\ 20 & ... &\\ \end{matrix}\right| $$

Como podemos notar, en ésta tabla hay 2 cambios de signo, en la tercera y cuarta fila, ésto quiere decir que existen 2 raíces positivas, eso lo comprobamos con octave, utilizando roots y rlocus

Las raíces se encuentan en los puntos (-4.1361, 0i), (1.0681, 1.9221i) y (1.0681, -1.9221i) , existen 2 raíces positivas por lo que el sistema es inestable


d) s⁴ + s³ + 2s² + 10s + 8

Para éste sistema la tabla queda resuelta asi:

$$\left.\begin{matrix} s^{4}\\ s^{3}\\ s^{2}\\ s^{1}\\ s^{0}\\ \end{matrix}\right| \left.\begin{matrix} 1 & 2 & 8\\ 1 & 10 & ...\\ -8 & 8 & ...\\ 11 & ... & ...\\ 8 & ... & ...\\ \end{matrix}\right| $$

Como podemos notar, en ésta tabla hay 2 cambios de signo, en la tercera y cuarta fila, ésto quiere decir que existen 2 raíces positivas, eso lo comprobamos con octave, utilizando roots y rlocus

Las raíces se encuentan en los puntos (0.83512, 2.02294i), (0.83512, -2.02294i), (-1.67024, 0i) y (-1.0, 0i), existen 2 raíces positivas por lo que el sistema es inestable


e) s⁴ + s³ + 3s² + 2s + K


Para éste sistema la tabla queda resuelta asi:

$$\left.\begin{matrix} s^{4}\\ s^{3}\\ s^{2}\\ s^{1}\\ s^{0}\\ \end{matrix}\right| \left.\begin{matrix} 1 & 3 & K\\ 1 & 2 & ...\\ 1 & K & ...\\ 2-K & ... & ...\\ K & ... & ...\\ \end{matrix}\right| $$

Además de resolver la tabla será necesario hallar K y el intervalo donde K hace del sistema un sistema estable, en éste caso, su valor se encuentra despejando la variable.

$$ 2 - K = 0 \\
K = 2$$

Entonces, el intervalo que hace que el sistema sea estable es 0 < K < 2.

En ésta tabla no hay cambios de signo, en la tercera y cuarta fila eso lo comprobamos con octave, utilizando roots y rlocus. Le asignamos a K valores dentro y fuera del intervalo, estos son los resultados:

Valor de K	Raíces	Conclusión	Imágen
K = 0	-0.14239 + 1.66615i -0.14239 - 1.66615i -0.71523 + 0.00000i 0.00000 + 0.00000i	Marginalmente estable (raíz en 0)
K = 1	-0.10488 + 1.55249i -0.10488 - 1.55249i -0.39512 + 0.50684i -0.39512 - 0.50684i	Sistema Estable
K = 2	-0.00000 + 1.41421i -0.00000 - 1.41421i -0.50000 + 0.86603i -0.50000 - 0.86603i	Sistema Estable
K = -1	-0.16109 + 1.75438i -0.16109 - 1.75438i -1.00000 + 0.00000i 0.32219 + 0.00000i	Sistema Inestable
K = 3	0.1765 + 1.3641i 0.1765 - 1.3641i -0.6765 + 1.0621i -0.6765 - 1.0621i	Sistema Inestable

Con esta sencilla prueba podemos ver como el sistema se comporta de forma estable cuando los valores de K se encuentran dentro del intervalo 0 < K < 2.


f) s⁵ + s⁴ + 2s³ + s + 5

Es éste problema la tabla de criterio de routh queda:

$$\left.\begin{matrix}
s^{5}\\
s^{4}\\
s^{3}\\
s^{2}\\
s^{1}\\
s^{0}\\
\end{matrix}\right|
\left.\begin{matrix}
1 & 2 & 1\\
1 & 0 & 5\\
2 & -4 & ...\\
2 & 5 & ...\\
-9 & 0 & ...\\
5 & 0 & ...\\
\end{matrix}\right| $$

Como podemos notar, en ésta tabla hay 2 cambios de signo, en la quinta y sexta fila, ésto quiere decir que existen 2 raíces positivas, eso lo comprobamos con octave, utilizando roots y rlocus

Las raíces se encuentan en los puntos (-0.68376, 1.57543i),  (-0.68376, -1.57543i), (-1.19456, 0i),  (0.78104, 0.89948i) y (0.78104, -0.89948i), existen 2 raíces positivas por lo que el sistema es inestable

g) s⁵ + s⁴ + 2s³ + s² + s + K

Es éste problema la tabla de criterio de routh queda:

$$\left.\begin{matrix} s^{5}\\ s^{4}\\ s^{3}\\ s^{2}\\ s^{1}\\ s^{0}\\ \end{matrix}\right| \left.\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & K \\ 1 & 1-K & ...\\ 1-(1-K) & K & ...\\ (1-(1-K))(1-K) & ... & ...\\ ((1-(1-K))(1-K))(k) & ... & ...\\ \end{matrix}\right|$$

La tabla nos queda algo extraña, sin embargo, es posible reducirla si vamos resolviendo las ecuaciones poco a poco y asi obtener una tabla más clara.
Podemos despejar K en la ecuación de la fila s² tal que:
$$1-(1-K) = 0\\ 1 = 1-K \\ K = 1-1 \\ K = 0$$
Ahora, si

$$1-(1-K) = 0\\
K = 0 \\
\therefore \\
1-(1-K) = K$$
Lo que resulta en la siguiente tabla

$$\left.\begin{matrix} s^{5}\\ s^{4}\\ s^{3}\\ s^{2}\\ s^{1}\\ s^{0}\\ \end{matrix}\right| \left.\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & K \\ 1 & 1-K & ...\\ K & K & ...\\ -K^{2} & ... & ...\\ -K^{3} & ... & ...\\ \end{matrix}\right|$$

Sin embargo, K da signos de ser 0, lo que quiere decir que no existe un margen que permita que el sistema sea estable, concluímos desde ahora que el sistema es marginalmente estable porque tiene raíz en 0 cuando K = 0.

Comprobamos con OCTAVE:

Valor de K	Raíces	Conclusión	Imágen
K = 0	-0.50000 + 0.86603i -0.50000 - 0.86603i 0.00000 + 1.00000i 0.00000 - 1.00000i 0.00000 + 0.00000i	Marginalmente estable
K = 1	-0.45570 + 1.20015i -0.45570 - 1.20015i -0.76683 + 0.00000i 0.33911 + 0.82238i 0.33911 - 0.82238i	Sistema Inestable
K = -1	-0.79944 + 0.85066i -0.79944 - 0.85066i 0.06070 + 1.23821i 0.06070 - 1.23821i 0.47748 + 0.00000i	Sistema Inestable

Concluye la actividad


Referencias

N/A

[Lab ACSD] 6. Análisis de sistemas de control en el espacio de estados

B.11.1 Considere el siguiente sistema representado mediante la funcion de transferencia:

Obtenga las representaciones en el espacio de estados de este sistema en las formas:

• Forma canónica controlable
• Forma canónica observable

SOLUCIONES

Antes de comenzar con las soluciones, debemos representar nuestra ecuación en la forma:

[2]

Si nuestra ecuación es:

Entonces nuestra ecuación quedaría:

Donde:

• b₀ = 0
• b₁ = 1
• b₂ = 6
• a₁ = 5
• a₂ = 6

[1] "Existen dos conceptos fundamentales  de los sistemas  de control: la controlabilidad y la observabilidad.

La  controlabilidad se ocupa del problema de poder dirigir  un sistema de un estado inicial dado, a un estado arbitrario y la observabilidad se ocupa del problema de determinar  el estado de un sistema dinámico a partir de observaciones de los  vectores de salida y de control en un número finito de periodos de muestreo.

El concepto de controlabilidad es la base para solucionar el problema de la ubicación de polos y el concepto de la  observabilidad juega  un papel importante para el diseño de los observadores de estados."

Controlabilidad

[1] "Un sistema es controlable si cada variable de estado del proceso se puede controlar para llegar a un cierto objetivo en un tiempo finito, a través de algún control no restringido u(t). Por lo tanto el concepto de controlabilidad trata de la existencia de un vector de control que puede causar que el estado del sistema llegue a algún estado arbitrario. 

En forma intuitiva, un sistema de control es controlable si todas las variables de estado pueden ser controladas en un periodo finito, mediante alguna señal de control no restringida. Así, si cualquiera de las variables de estado es independiente de la señal de control, entonces resulta imposible controlar esa variable de estado y, por lo tanto, el sistema es no controlable."

La forma controlable está dada por la forma:

[2]

Ahora, tomando nuestras variables b₁ = 1, b₂ = 6, a₁ = 5, a₂ = 6, la representación de estados en la forma controlable quedaría:

Respuesta 1: Forma canónica controlable

Observabilidad

[1] "El concepto de observabilidad es dual al de controlabilidad, e investiga la posibilidad de estimar el estado del sistema a partir del conocimiento de la salida.

Consideramos el sistema lineal estacionario:

[3]

Se dice que el estado x(t0) es observable si dada cualquier entrada u(t), existe un

tiempo finito tf ≥ t0 tal que el conocimiento de: 

• u(t) para t0 ≤ t < tf
• las matrices A, B, C y D
• la salida y(t) para t0 ≤ t < tf

sea suficiente para determinar x(t0). Si cada estado del sistema es observable para 

un tiempo finito, se dice que el sistema es  completamente observable, o 

simplemente observable."

La forma observable está dada por la forma:

[2]

Ahora, tomando nuestras variables b₁ = 1, b₂ = 6, a₁ = 5, a₂ = 6, la representación de estados en la forma observable quedaría:

Respuesta 2: Forma canónica observable.

Forma canónica diagonal

De forma complementaría, veamos como obtener la forma canónica diagonal. Primero debemos comenzar hallando las raíces del denominador, siempre y cuando éstas sean distintas:

[2]

Para posteriormente expandir el resultado a fracciones parciales:

[2]

Utilizando el método de la fórmula general, hallar las raíces es trivial:

En esté punto podemos concluír que las raíces son -2 y -3. Entonces nuestro denominador es factorizable de forma directa, nuestra ecuación queda asi:

Utilizando octave (comando residue) podemos hallar los coeficientes y comprobar las raíces que obtuvimos:

Con los datos anteriores podemos expandir la ecuación a fracciones parciales:

Donde:

• c₁ = 4
• c₂ = -3
• p₁ = 2
• p₂ = 3

La forma diagonal está dada por la forma:

[2]

Acomodando las variables que obtuvimos arriba, la forma diagonal de la función queda:

Respuesta 3 Forma canónica diagonal

Asi concluye la actividad.


Referencias
[1] http://www.ie.itcr.ac.cr/einteriano/control/clase/1.2.0RealimentaciondeEstado.pdf
[2] http://www.scribd.com/doc/13353419/Espacio-de-estados
[3] http://www.scribd.com/doc/7110433/Presentacion-Analisis-de-Espacio-de-Estados
http://pcmap.unizar.es/~inma/algebra/practicas/A_L_g_pract_3.pdf
[LIBRO] Ingeniería de Control Moderna - 4ta edición - K. Ogata

[Lab ACSD] 5. Análisis de la respuesta en frecuencia

Planteamiento del problema

8.24 Considere el sistema definido mediante:

Hay cuatro diagramas de Nyquist individuales implícitos en este sistema. Dibuje dos diagramas de Nyquist individuales para la entrada U1 en un gráfico y dos diagramas de Nyquist para la entrada U2 en otro gráfico.
Utilice MATLAB para obtener éstos dos gŕaficos.

Solución

La solución a este problema la planteare en OCTAVE,  lo dividiré en 2 partes:

• Hallar las funciones de transferencia
• Dibujar los diagramas de Nyquist

Primero, necesitamos cargar los datos del sistema en OCTAVE de la siguiente manera:

octave:1> A = [-1 -1;6.5 0];
octave:2> B = [1 1;1 0];
octave:3> C = [1 0;0 1];
octave:4> D = [0 0;0 0];

Ejecución:

Como ya hemos notado, el sistema se encuentra representado en la forma canónica, entonces hay que convertirlo a forma algebraica para poder utilizar la función nyquist en OCTAVE, eso se logra con el comando:

octave:5> pkg load signal
octave:6> [num, den] = ss2tf(A,B,C,D,1)

El comando anterior nos regresa 2 arreglos, uno con los 4 numeradores y otro con los 4 denominadores, correspondientes (por pares) a las 4 funciones de transferencia, y por consiguiente, a los 4 diagramas de Nyquist.

Ejecución:

Ahora vamos a formar las 4 funciones de transferencia con los siguientes comandos, utlizando los correspondientes numeradores y denominadores por pares:

octave:7> sys1 = tf(num{1}, den{1});
octave:8> sys2 = tf(num{2}, den{2});
octave:9> sys3 = tf(num{3}, den{3});
octave:10> sys4 = tf(num{4}, den{4});

Ejecución:

Con esto queda concluida la parte de obtener las funciones de transferencia.

Ahora vamos a dibujar los diagramas de Nyquist tal como lo especifica, para ello utilizamos los siguientes comandos:

octave:11> nyquist(sys1);
octave:12> hold on;
octave:13> nyquist(sys2);

Lo que da como resultado el primer diagrama para la entrada U₁(sys1 es el diagrama ovalado pequeño y sys2 el diagrama externo)

Despues liberamos

octave:14> hold off;

Y dibujamos el segundo par

octave:15> nyquist(sys3);
octave:16> hold on;
octave:17> nyquist(sys4);

Lo que da como resultado el diagrama para la entrada U₂ (sys3 es el diagrama ovalado pequeño y sys4 el diagrama externo)

Ejecución de los 2 pasos anteriores:

Asi concluye la actividad, espero les sirva como buena referencia. Saludos.

Referencias:

• http://elisa.dyndns-web.com/~elisa/teaching/sys/control/frecuencia.pdf
• http://elisa.dyndns-web.com/~elisa/teaching/sys/control/estados.pdf

[Lab ACSD] 4. Análisis del lugar geométrico de las raíces

Dibuje los lugares de las raíces para un sistema con:

Determine los puntos exactos donde los lugares de las raíces cortan el eje jω.


Solución:

Primero debemos determinar los puntos donde los lugares de las raíces cortan el eje real, para ello hay que obtener la ecuación característica:

En este caso no existen puntos que cortan el eje real, pues si resolvemos el denominador de la ecuacion obtenemos solo puntos imaginarios:

Entonces, para encontrar los puntos donde los lugares de las raíces cortan el eje imaginario debemos resolver la ecuacíon caracteristica para s = jω.

Los lugares de las raíces que cortan el eje imaginario son las raíces o ceros de la parte imaginaria de la ecuación final que obtuvimos, entonces, vamos a gráficar la parte imaginaria para obtener una aproximación de dichos puntos, para ello utilice gnuplot:

Vemos que la gráfica corta el eje en los rangos (-2 : -1.5)(1.5 : 2), la gráfica es simétrica, entonces, reducimos el rango de visualizacion de un lado para obtener los puntos:

Nuestra aproximación es  ω±1.88, entonces el eje imaginario se corta en los puntos 1.88 y -1.88

Para obtener un valor mas preciso utilizaremos el Criterio de Routh (ver referencias).  Para encontrar los puntos despejamos k de la penúltima fila y la sustituyemos en la antepenúltima fila y la resolvemos.

Asi comprobamos que los lugares de las raíces cortan el eje imáginario (s = jω) en los puntos ω±1.8708

Gráficamos con Octave para comprobar, el eje X es el eje real, el eje Y es el eje imaginario. Podemos ver como la curva azúl corta el eje imaginario en los puntos ±1.8708, además hay 4 puntos adicionales conectados con 1 recta, estos corresponden a los puntos donde se corta el eje imaginario con el sistema a lazo abierto, estos puntos lo encontramos al resolver el denominador de la ecuacion de la imágen 3, es decir -2i, -1i, 1i y 2i





Referencias:

• http://gama.fime.uanl.mx/~agarcia/materias/ingco/apclas/07%20-%20Criterio%20de%20Estabilidad%20de%20Routh.pdf
• http://materias.fi.uba.ar/7609/material/Clase%2004/06%20Lugar%20de%20Raices.pdf
• http://es.wikipedia.org/wiki/Unidad_imaginaria
• http://www.esi2.us.es/~asun/TCA07/T2-5.pdf
• http://gama.fime.uanl.mx/~agarcia/materias/ingco/apclas/08%20-%20Analisis%20del%20Lugar%20Geometrico%20de%20la%20Raices.pdf

[Lab ACSD] 3. Diagramas de Bloques

EJERCICIO B.3.1

Simplifique el diagrama que aparece en la figura 3.71 y obtenga la función de transferencia de lazo cerrado C(s)/R(s).

Figura 3.71

Solución

Para está práctica fue necesarío ir reduciendo el diagrama de bloques hasta obtener la función de transferencía. Ésto se logra aplicando las reglas del algebra de bloques.

En el primer paso podemos notar que tanto los procesos G1 y G2 como los procesos G3 y G4, son paralelos, entonces, aplicaremos la regla de los bloques en paralelo, que se ilustra en la siguiente imágen:

Regla de los Bloques en Paralelo

Resultando el diagrama en lo siguiente:

Ahora, solo nos queda un último paso, como podemos ver, nuestro diagrama ahora tiene un punto de bifurcación lo que ocaciona que el proceso (G3 - G4) reciba como entrada una salida del proceso (G1 + G2) y a su vez que el proceso (G1 + G2) tenga como entrada la combinación de la salida del proceso (G3 - G4).

Para reducir el diagrama aplicaremos la regla del lazo cerrado al lazo abierto, explicada en la siguiente imágen:

Regla del lazo cerrado a lazo abierto

Y con estos 2 pasos reducimos a su mínima expresión el diagrama de bloques obteniendo así la función de transferencia:

Referencias

• http://www2.elo.utfsm.cl/~elo104/informacion/resumenes/11_Diagrama%20de%20Bloques.pdf
• http://www.sistemas.edu.bo/cbalderrama/sis%203308/SOLUCIONARIO%202008/Diagrama%20de%20Bloques.pdf
• http://www.scribd.com/doc/57027031/Sistemas-Dinamicos-Simplificacion-Diagramas-de-Bloques